Thử thách Toán ứng dụng nâng cao
Phần này tập hợp các bài toán ứng dụng mức độ khó hơn, yêu cầu học sinh vận dụng tổng hợp kiến thức số học, đại số, hình học và tư duy logic để tìm lời giải tối ưu.
1. Bài toán quy hoạch – tối ưu
Bài toán 1
Một xưởng bánh muốn sản xuất hai loại bánh A và B.
- Lợi nhuận mỗi chiếc A: 8.000 đồng, mỗi chiếc B: 12.000 đồng.
- Thời gian sản xuất: A cần 10 phút, B cần 15 phút.
- Trong một ca 4 giờ, xưởng có tối đa 240 phút và chỉ sản xuất tổng cộng 20 chiếc.
Hỏi xưởng nên làm bao nhiêu chiếc mỗi loại để lợi nhuận tối đa, và lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Gợi ý hướng dẫn
- Gọi x là số bánh A, y là số bánh B.
- Ràng buộc: x + y ≤ 20; 10x + 15y ≤ 240; x, y ≥ 0.
- Hàm mục tiêu: P = 8000x + 12000y.
- Dùng phương pháp xét đỉnh đa giác nghiệm để tìm P_max.
2. Bài toán tỉ lệ liên hoàn
Bài toán 2
Một hợp kim gồm đồng và kẽm tỉ lệ 3:2. Thêm vào 10 kg đồng nguyên chất, tỉ lệ mới là 5:3. Hỏi khối lượng hợp kim ban đầu?
Hướng dẫn nhanh:
- Gọi khối lượng hợp kim ban đầu là m.
- Lập phương trình: (3/5)m + 10 chia cho (2/5)m bằng 5/3.
3. Bài toán tốc độ thay đổi – hàm số đơn giản
Bài toán 3
Một bể chứa nước hình trụ có đường kính 2 m. Nước được bơm vào với lưu lượng 0,05 m³/phút.
- Viết công thức tính chiều cao mực nước h(t) (m) theo thời gian t (phút).
- Sau bao lâu bể đầy chiều cao 1,5 m?
Gợi ý: Thể tích hình trụ V = π r^2 h với r = 1.
h(t) = 0.05 × t / π
4. Bài toán suy luận dạng điền số nâng cao
Bảng 3×3 dưới đây chứa ba số ẩn (?):
+---+----+----+
| ? | 12 | 18 |
+---+----+----+
| 4 | 6 | ? |
+---+----+----+
| 8 | ? | 24 |
+---+----+----+
Các số còn thiếu cần thoả mãn:
- Mỗi hàng, mỗi cột có cùng BCNN.
- Tổng ba số trong mỗi hàng, cột đều bằng 42.
(Ở lớp, giáo viên có thể in bảng để học sinh điền trực tiếp.)
5. Bài tập luyện tập
- (Tối ưu) Một cửa hàng pha chế hai loại trà A (hòa tan 60 g/l) và B (40 g/l) để tạo 8 lít trà nồng độ 50 g/l với chi phí thấp nhất, biết giá thành A: 30 000 đ/l, B: 18 000 đ/l. Tính khối lượng mỗi loại và chi phí tối ưu.
- (Dữ liệu) Bảng nhiệt độ trung bình (°C) của một thành phố:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nhiệt độ 18 19 21 24 28 30 31 31 29 26 22 19 a. Tính nhiệt độ trung bình năm. b. Tháng nào lệch nhiều nhất so với trung bình? c. Vẽ biểu đồ đường minh họa xu hướng. - (Hình học ứng dụng) Một mảnh đất hình chữ L gồm hai hình chữ nhật cạnh 12 m × 8 m và 6 m × 4 m ghép vuông góc. Tính diện tích, chu vi và chiều dài hàng rào nếu để cửa rộng 2 m.
(Sơ đồ minh hoạ kích thước tương đối của mảnh đất hình chữ L).
Các bài toán trên giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích đa biến, thiết lập mô hình và tối ưu hóa – kỹ năng xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi chuyên hiện đại.